이항 스톡 옵션

이항 옵션 가격 모델.

'이항 옵션 가격 모델'이란 무엇입니까?

이항 옵션 가격 결정 모델은 1979 년에 개발 된 옵션 평가 방법입니다. 이항 옵션 가격 결정 모델은 평가 날짜와 옵션의 만료 날짜 사이의 기간 동안 노드 또는 시간의 특정을 허용하는 반복 프로 시저를 사용합니다. 이 모델은 가격 변화 가능성을 줄이고 재정 거래 가능성을 제거합니다. 이항 트리의 단순화 된 예는 다음과 같습니다.

속보 옵션 '가격 옵션 모델'

이항 가격 예제.

이항 트리의 단순화 된 예는 단지 하나의 시간 간격을 갖는다. 주당 100 달러로 책정 된 주식이 있다고 가정합니다. 한 달 안에이 주식의 가격은 10 달러 상승하거나 10 달러 하락할 것이며이 상황을 만듭니다.

주가 = 100 달러.

주가 (주정부) = 110 달러.

주식 가격 (다운 상태) = 90 달러.

다음으로이 주식에 사용할 수있는 통화 옵션이 한 달 만료되고 가격이 $ 100 인 것으로 가정합니다. 업 상태에서이 통화 옵션은 10 달러, 다운 상태에서는 0 달러입니다. 이항 모형은 통화 옵션의 가격이 오늘 무엇인지 계산할 수 있습니다. 단순화를 위해 투자자가 주식의 절반을 구매하여 하나의 통화 옵션을 작성하거나 판매한다고 가정합니다. 총 투자는 오늘 옵션의 가격보다 절반 몫의 가격이며, 월말의 가능한 보수는 다음과 같습니다.

오늘 비용 = $ 50 - 옵션 가격.

포트폴리오 값 (up state) = $ 55 - max ($ 110 - $ 100, 0) = $ 45.

포트폴리오 가치 (아래 상태) = $ 45 - 최대 ($ 90 - $ 100, 0) = $ 45.

주식 가격의 움직임에 관계없이 포트폴리오 성과는 동일합니다. 이 결과를 감안할 때, 차익 거래 기회가 없다고 가정하면 투자자는 한 달 동안 무위험 이자율을 받아야합니다. 현재 비용은 1 개월 동안 무위험이자로 할인 된 보수와 같아야합니다. 따라서 풀 수있는 방정식은 다음과 같습니다.

옵션 가격 = $ 50 - $ 45 x e ^ (무효 자유 율 x T). 여기서 e는 수학 상수 2.7183입니다.

무위험 이자율이 연간 3 %이고 T가 0.0833 (1을 12로 나눈 값)이라면 오늘 콜 옵션의 가격은 5.11 달러입니다.

단순하고 반복적 인 구조로 인해 이항 옵션 가격 결정 모델은 특정한 고유 한 이점을 제공합니다. 예를 들어 시간의 경과에 따라 각 노드에 대해 파생 상품에 대한 평가 스트림을 제공하므로 미국 옵션과 같은 파생 상품 가치를 평가하는 데 유용합니다. 또한 Black-Scholes 모델과 같은 다른 가격 책정 모델보다 훨씬 간단합니다.

이항 옵션 가격 모델을 이해하는 예제.

현재의 경우에도 거래 가능한 자산의 정확한 가격 결정에 동의하는 것은 상당히 어려운 일입니다. 그래서 주가는 끊임없이 변화하고 있습니다. 실제로 회사는 평상시에 가치 평가를 거의 바꾸지 않지만 주가와 평가는 매 초마다 바뀝니다. 이는 거래 가능한 자산의 현재 가격에 대한 합의에 도달하기 어렵다는 것을 보여 주며, 이로 인해 차익 거래 기회가 생깁니다. 그러나 이러한 차익 거래 기회는 실제로 오래 살지 않습니다.

그것은 모두 현재의 밸류에이션으로 내려갑니다. - 미래의 기대 수익에 대한 현재의 현재 가격은 얼마입니까?

경쟁 시장에서 차익 거래 기회를 피하기 위해 동일한 보수 구조를 가진 자산은 동일한 가격을 가져야합니다. 옵션의 평가는 어려운 과제 였고 가격 결정의 높은 변동이 관찰되어 차익 거래 기회를 이끌어 냈습니다. Black-Scholes는 가격 옵션에 사용되는 가장 인기있는 모델 중 하나로 남아 있지만 자체 제한이 있습니다. 자세한 내용은 옵션 가격 결정을 참조하십시오. 이항 옵션 가격 결정 모델은 가격 결정 옵션에 사용되는 또 다른 인기있는 방법입니다. 이 기사에서는 몇 가지 포괄적 인 단계별 예제를 설명하고이 모델을 적용 할 때의 위험 중립 개념에 대해 설명합니다. (관련 독서는 다음을 참조하십시오 : 옵션 값을 구하기 위해 이항 모델 분해).

이 기사에서는 옵션과 관련 개념 및 용어에 대한 사용자의 친숙도를 가정합니다.

현재 시장 가격이 $ 100 인 특정 주식에 콜 옵션이 있다고 가정합니다. ATM 옵션의 유효 기간은 1 년입니다. 피터와 폴은 주식 가격이 1 년에 110 달러로 떨어지거나 90 달러로 하락할 것이라는 데 동의하는 두 명의 상인이있다. 그들은 둘 다 1 년간의 주어진 시간 틀에서 기대 가격 수준에 동의하지만, 상승 움직임 (그리고 아래 움직임)의 확률에 대해서는 의견이 다르다. 베드로는 주식 가격이 110 달러가 될 확률이 60 % 인 반면 폴은 40 %라고 믿는다.

위의 내용을 토대로 통화 옵션에 대해 더 많은 비용을 지불 할 의사가있는 사람은 누구입니까?

아마 피터, 그가 높은 이동 확률을 기대하기 때문에.

이것을 검증하고 이해하기위한 계산을 봅시다. 평가에 의존하는 두 가지 자산은 통화 옵션과 기본 주식입니다. 참가자들 사이에 근본적인 주가가 1 년 만에 현재 100 달러에서 110 달러 또는 90 달러로 움직일 수 있다는 합의가 이루어졌으며 다른 가능한 가격 움직임은 없습니다.

차익 거래가없는 세계에서, 만약 우리가 기초 가격 (110 달러 또는 90 달러)이 어디이든 상관없이, 포트폴리오의 순 수익률은 항상 동일하게 유지되는 두 가지 자산 (콜 옵션 및 기본 주식)을 포함하는 포트폴리오를 생성해야한다. . 이 포트폴리오를 작성하기 위해 기본 및 단 한 통화 옵션의 'd'주를 구입한다고 가정합니다.

가격이 110 달러로 오를 경우, 우리 주식은 110 달러 *의 가치가있을 것이고, 짧은 콜 수익으로 10 달러를 잃을 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (110d - 10)입니다.

가격이 $ 90로 떨어지면 우리 주식은 $ 90 * d의 가치가 있고 옵션은 무용지물이 될 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (90d)입니다.

우리가 포트폴리오의 가치를 동일하게 유지하기를 원한다면, 기본 주식 가격이 어디에 있든 상관없이 포트폴리오 가치는 다음 두 경우 모두 동일해야합니다.

즉, 만약 우리가 주식을 절반으로 구매한다면 (부분 구매가 가능하다고 가정 할 때), 우리는 주어진 기간 내에 1 년이라는 두 가지 상태 모두에서 그 가치가 동일하게 유지되도록 포트폴리오를 만들 것입니다. (포인트 1)

(90d) 또는 (110d -10) = 45로 표시되는이 포트폴리오 값은 1 년입니다. 그것의 현재 가치를 계산하기 위해, 그것은 위험 자유로운 수익률 (5 % 가정)에 의해 할인 될 수 있습니다.

= & gt; 90d * exp (-5 % * 1 년) = 45 * 0.9523 = 42.85 = & gt; 포트폴리오의 현재 가치.

현재 포트폴리오는 기본 주식의 1/2 주 (시가 $ 100)와 단시간 콜으로 구성되어 있기 때문에, 상기 계산 된 현재 가치와 동일해야합니다.

= & gt; 1 / 2 * 100 - 1 * 콜 가격 = 42.85.

= & gt; 현재 통화 가치는 오늘 기준 7.14 달러입니다.

이것은 포트폴리오 가격이 기본 가격 (위의 1 번 지점)에 관계없이 동일하게 유지된다는 위의 가정에 기반하기 때문에 위 또는 아래로 이동할 가능성은 여기에서 아무런 역할을하지 않습니다. 포트폴리오는 근본적인 가격 변동과 무관하게 위험 부담이 없습니다.

두 경우 모두 (110 달러로 상향 조정하고 90 달러로 하향 조정), 우리의 포트폴리오는 위험에 대해 중립적이며 위험 자유로운 수익률을 얻습니다.

따라서 상인 (Peter and Paul)은 상향 이동 (60 %와 40 %)의 가능성에 대한 서로 다른 인식에 관계없이이 통화 옵션에 대해 동일한 7.14 달러를 기꺼이 지불 할 것입니다. 위의 예에서 볼 수 있듯이 개별적으로 인식 된 확률은 옵션 평가에서 아무런 역할을하지 않습니다.

개별 확률이 중요하다고 가정하면 차익 거래 기회가 존재했을 것입니다. 현실 세계에서 그러한 차익 거래 기회는 작은 가격 차이로 존재하며 단기간에 사라집니다.

그러나 옵션 가격 결정에 영향을 미치는 중요한 (그리고 가장 민감한) 요소 인 이러한 모든 계산에서 과대 평가 된 변동성은 어디에 있습니까?

변동성은 이미 문제 정의의 성격에 포함되어 있습니다. 우리는 가격 수준 ($ 110과 $ 90) 중 두 가지 (그리고 단지 2 가지 - 그리고 따라서 "2 항"이라는 이름) 상태를 가정하고 있음을 기억하십시오. 휘발성은이 가정에 함축되어 있으므로 자동으로 포함됩니다 (이 예에서는 10 %).

이제 우리의 접근 방식이 일반적으로 사용되는 Black-Scholes 가격 책정에 정확하고 일관성이 있는지 확인하기 위해 온 전성 검사를 해봅시다. (참조 : 블랙 숄즈 옵션 평가 모델).

다음은 계산 된 값과 밀접하게 부합하는 옵션 계산기 결과 (OIC의 호의)의 스크린 샷입니다.

불행히도, 현실 세계는 "단지 두 국가"만큼 간단하지 않습니다. 거기에 만료 시간까지 재고에 의해 달성 할 수있는 몇 가지 가격 수준이 있습니다.

두 가지 레벨로만 제한된 이항료 가격 모델에 이러한 여러 레벨을 모두 포함 할 수 있습니까? 네, 아주 가능합니다. 이해하기 위해 간단한 수학을 배우겠습니다.

몇 가지 중간 계산 단계를 요약하여 결과에 초점을 맞추기 위해 건너 뜁니다.

계속 진행하기 위해이 문제와 솔루션을 일반화하자.

'X'는 주식의 현재 시장 가격이고 'X * u'와 'X * d'는 't'년 후의 상하 변동에 대한 미래 가격입니다. 요인 'u'는 움직임이 올라 갔음을 의미하고 'd'는 0과 1 사이에 위치하므로 1보다 커야합니다. 위의 예에서 u = 1.1 및 d = 0.9입니다.

만료시 통화 옵션 payoffs는 'P up'및 'P dn'입니다.

우리가 오늘 구입 한 주식의 포트폴리오를 만들고 짧은 통화 옵션을 만든다면 시간이 지나면 't'가됩니다.

상향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * u - P up.

하향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * d - P dn.

가격 이동의 경우와 유사한 평가의 경우,

= & gt; s = (Pup-Pdn) / (X * (u-d)) = no. 위험의 여지가없는 포트폴리오를 구입하기위한 주식.

't'년말의 포트폴리오의 미래 가치가 될 것입니다.

위의 현재 가치는 위험 자유로운 수익률로 할인하여 얻을 수 있습니다.

이것은 X 가격의 's'주식 보유 포트폴리오와 일치해야하며, 짧은 콜 값 'c'즉 (s * X - c)의 현재 보유는 상기와 동일해야합니다. C에 대한 해답은 결국 c를 다음과 같이 나타냅니다.

통화 프리미엄을 줄이는 경우 광고 거래를 포트폴리오에 추가해야합니다.

위의 방정식을 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같이 재정렬하는 것입니다.

위의 방정식이됩니다.

방정식을 "q"로 재 배열하면 새로운 시각을 제공합니다.

"q"는 이제 기초의 상향 이동 확률로 해석 될 수 있습니다 ( "q"는 P up과 연관되고 "1-q"는 P dn과 연관 됨). 전체적으로, 상기 방정식은 현재의 옵션 가격, 즉 만료시의 보수의 할인 된 가치를 나타낸다.

이 확률 "q"는 기초의 상향 이동 또는 하향 이동 확률과 어떻게 다른가?

시간 t = q * X * u + (1-q) * X * d에서의 주가 값.

q의 값을 대입하고 재배치하면 시간 t의 주가가옵니다.

즉 2 상태의이 가정 된 세계에서, 주식의 가격은 무위험 수익률 (즉, 무위험 자산과 정확하게 동일하므로 임의의 위험과 독립적으로 남아 있음)에 의해 단순히 상승한다. 모든 투자자는이 모델 하에서 위험에 무관심하며 위험 중립적 모델을 구성합니다.

확률 "q"와 "(1-q)"는 위험 중립적 확률로 알려져 있으며, 평가 방법은 위험 중립적 평가 모델이라고합니다.

위의 예에는 하나의 중요한 요구 사항이 있습니다. 미래의 보수 구조에는 정밀도 ($ 110 및 $ 90 수준)가 필요합니다. 실생활에서 단계 기반 가격 수준에 대한 그러한 명확성은 불가능합니다. 오히려 가격이 무작위로 움직이며 여러 단계로 정할 수 있습니다.

예제를 더 확장 해 봅시다. 2 단계 가격 수준이 가능하다고 가정합니다. 우리는 두 번째 단계 최종 결과를 알고 있으며 오늘 옵션을 평가해야합니다 (즉, 초기 단계)

거꾸로 작업하면서 2 단계 (t = 2)에서 최종 보수를 사용하여 중간 1 단계 평가 (t = 1)를 수행 한 다음 계산 된 1 단계 평가 (t = 1), 현재 날짜 평가 (t = 0)는 위의 계산을 사용하여 도달 할 수 있습니다.

아니오에서 옵션 가격을 받으려면. 2의 경우 4와 5의 보수가 사용됩니다. 아니오에 대한 가격을 얻으려면. 3에서 5와 6의 보수가 사용됩니다. 마지막으로 계산 된 2와 3의 보수는 no로 가격을 책정하는 데 사용됩니다. 1.

이 예에서는 두 단계에서 위 (및 아래) 이동에 대해 동일한 요소가 있다고 가정합니다 - u (및 d)는 복합 방식으로 적용됩니다.

다음은 계산을 사용한 작업 예제입니다.

파업 가격 $ 110의 풋 옵션이 현재 $ 100로 거래되고 1 년 만료된다고 가정하십시오. 연간 무위험 이자율은 5 %입니다. 가격은 20 % 증가하고 6 개월마다 15 % 하락할 것으로 예상됩니다.

문제를 구조화합시다.

여기서, u = 1.2 및 d = 0.85, X = 100, t = 0.5.

위의 유도 된 수식을 사용하면 q = 0.35802832가됩니다.

포인트 2의 풋 옵션의 값,

P upup 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144가되어 P upup = 0이됩니다.

P updn 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102로 P updn = $ 8이됩니다.

Pndnd 조건에서 기본은 = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25이며 Pndnd = $ 37.75가됩니다.

p2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741.

유사하게, p3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924.

따라서 put 옵션의 가치는 p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29입니다.

유사하게, 2 항 모델은 하나의 전체 옵션 지속 시간을 분할하여 더 많은 단계 / 레벨을 개선 할 수 있도록합니다. 컴퓨터 프로그램이나 스프레드 시트를 사용하면 한 번에 한 단계 씩 뒤로 작업하여 원하는 옵션의 현재 가치를 얻을 수 있습니다.

이항 옵션 평가를위한 3 가지 단계를 포함하는 또 다른 예제를 통해 결론을 맺으십시오.

유럽 ​​유형의 풋 옵션을 가정합니다. 파업 가격이 12 달러이고 현재 기본 가격이 $ 10로 끝나는 데 9 개월이 소요됩니다. 모든 기간 동안 5 %의 위험 자유 율을 가정하십시오. 매 3 개월을 가정하고, 기본 가격이 20 % 위 또는 아래로 움직여 u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 및 3 단계 이항 트리를 제공 할 수 있습니다.

빨간색 숫자는 기본 가격을 나타내고 파란색 숫자는 풋 옵션의 결과를 나타냅니다.

위험 중립 확률 q는 0.531446으로 계산됩니다.

위의 q 값과 t = 9 개월의 보수 값을 사용하여 t = 6 개월의 해당 값은 다음과 같이 계산됩니다.

또한 t = 6에서 계산 된 값을 사용하면 t = 3에서 t = 0에서의 값은 다음과 같습니다.

풋 옵션의 현재 가치는 $ 2.18로 블랙 숄즈 모델 ($ 2.3)을 사용하여 계산 된 값에 매우 가깝습니다.

컴퓨터 프로그램을 사용하면 이러한 집중적 인 계산을 쉽게 수행 할 수 있지만 미래 가격의 예측은 옵션 가격 책정에 대한 이항 모델의 주요 제한 사항으로 남아 있습니다. 시간 간격이 더 세밀할수록 각 기간의 끝에서 보수를 정확하게 예측하는 것이 어려워집니다. 그러나 다른시기에 예상대로 변경 내용을 통합 할 수있는 유연성이 추가되어 플러스가되어 초기 운동 평가를 비롯하여 미국 옵션 가격 책정에 적합합니다. 이항 모델을 사용하여 계산 된 값은 옵션 가격 결정을위한 이항 모델의 유용성과 정확성을 나타내는 Black-Scholes와 같이 일반적으로 사용되는 다른 모델에서 계산 된 값과 거의 일치합니다. 이항 가격 모델은 상인의 ​​선호도에 따라 개발 될 수 있으며 Black-Scholes의 대안으로 사용할 수 있습니다.

Andrew Gibiansky :: 수학 & rarr; [코드]

2013 년 5 월 9 일 목요일.

우리 중 대부분은 주식 시장에 익숙하지만, 비슷한 시장에서 거래되는 파생 상품에 익숙하지 않을 수도 있습니다. 그러한 파생물 중 하나를 “ввв called called이라고합니다. 옵션은 본질적으로 주어진 가격으로 주식을 사거나 팔 수있는 권리입니다. 이 두 가지 유형의 옵션은 각각 “call” 및 “put” 옵션으로 알려져 있습니다. 예를 들어, AAPL (Apple)에 대한 CALL 옵션을 $ 430.30 달러의 가격과 다음 수요일의 만료 날짜로 구입할 수 있습니다. 즉, 다음 주 수요일 전에 언제든지 주식 가격 (현물 가격)이 현재 가격과 관계없이 해당 가격으로 AAPL 재고를 살 수 있음을 의미합니다. 다음 수요일까지 가격이 450 달러까지 올랐다면, 430.30 달러에 사서 450 달러에 팔아서 막대한 이익을 얻었습니다. PUT 옵션은 비슷하지만 상승 가치에 대한 베팅 대신 하락 가치에 대한 내기이며 현물 가격보다 높은 가격으로 주식을 팔 수 있습니다. 선택권은 독점적으로 그들의 활동을위한 많은 상인과 더불어 믿을 수 없을만큼 기본적인 파생물, 이다. 이 점을 염두에두고 질문이 매우 자연스럽게 발생합니다. 몇 가지 옵션이 주어지면이 옵션을 구매하기 위해 얼마를 지불해야합니까? 이전에 $ 1 또는 $ 10 상당의 Apple Call이 나와 있습니까? 애플이 450 달러로 오를 가능성이 높다면 분명히 콜은 더 비싸야하는데, 그 이유는 거의 20 달러의 이익이되기 때문이다. 그러나 애플이 430.30 달러 이상으로 상승 할 가능성이 없다면 그 선택은 가치가 없다.

가격 옵션의 한 알고리즘을 BOPM (Bomemial Options Pricing Model)이라고합니다. 기본 주식의 일일 연속 증가율은 보통 분산 (\ (\ α \ 0 \))과 분산 (\ (\ σ ^ 2 \))을 중심으로 0으로 분산되어 있다고 가정합니다. 이러한 가정은 사실이 아니지만 특정 상황에서는 유용 할만큼 충분히 가깝습니다.

다음으로, 주식 가격은 시간 단계가 \ (\ Delta \) 인 이산 시간 과정이고, 각 시간 단계에서 주가는 \ (u \)의 계수로 올라가거나 인수 \ (d => \). (\ (u \)의 계수로 올라가는 것이 증가하기 때문에 우리는 \ (u \ ge 1 \)을 적용하고 \ (d \는 [0, 1] \)을 시행합니다. 가격은 \ (\ alpha \)가 0 인 이토 프로세스라고 가정합니다. 그러므로 우리는 주식의 변동성으로부터 두 가지 요인을 계산할 수 있고, \ (\ begin \ & \ e \> \\ d & amp; = e ^> \ end \] 여기서 \ (\ 시그마)는 변동성 및 \ (\ sqrt \)은 변동성을 시간 단계별로 조정하는 시간 조정 요소입니다.

\ (u \)와 \ (d \)를 계산하면 시간 \ (t = 0 \)에서 시작하여 가능한 모든 주가 \ t = k \ Delta t \ (k \)를 0에서 시작하여 옵션의 만료일로 이동합니다. \ (t = 0 \)과 \ (S = S_0 \)부터 시작하여 각 타임 스텝에서 가능한 주가에 대해 하나의 노드로 트리를 만들 수 있습니다. 다음 timestep \ (t = \ Delta t \)에는 \ (uS_0 \)과 \ (dS_0 \)에 대해 하나씩 두 개의 노드가 있습니다. \ (t = 2 \ Delta t \)에 대한 타임 스텝 어 페어 우드는 \ (u ^ 2S_0 \), \ (udS_0 \), \ (duS_0 \) 및 \ (d ^ 2S_0 \ ). 그러나 \ (ud = du = u \ frac = 1, \)는 내부 노드를 하나로 축소 할 수 있음을 의미합니다. 그러므로 \ (k = 1) 노드마다 \ (u ^ id ^ S_0 \)와 같은 가격을 갖기 때문에 시간 \ (t = k \ Delta t \)에 총 \ i \ in> \).

이항 옵션 가격 모델 트리.

이항 옵션 가격 결정 모델의 궁극적 인 목표는이 트리의 각 노드에서 옵션의 가격을 계산하여 결국 트리의 루트에서 값을 계산하는 것입니다. 잎의 값을 계산하는 것으로 시작합니다. 잎의 값은 단순히 운동 값이기 때문에 계산하기 쉽습니다. 옵션의 파격 가격을 \ (K \)로하고 주어진 노드의 주식 가격을 \ (S_n \)이라고하면, 주어진 노드의 가격은 \ [\ begin C & amp; \ max \ qquad \ text \\ C & amp; \ max \ qquad \ text \\ end \] 만약 전화 나 풋 옵션이 수익성이 없다면, 그들은 단순히 운동없이 만료되도록 허용 될 것이므로 가격은 0 (무의미한 선택). (통화 옵션이 주식 가격이 파업 가격보다 높으면 \ (S_n - K \)이 양수이기 때문에 통화 옵션에 대해 확인할 수 있으므로 통화 옵션 인 경우 \ (K \) 그리고 \ (S_n \)에 팔아서 \ (S_n - K \)의 이익을 얻습니다.)

더 나아 가기 위해서는 이항 모형 트리의 내부 노드에서 옵션 가격을 계산하는 방법이 필요합니다. 각 내부 노드에 대해, 우리는 옵션의 시간이 감쇠 된 미래의 미래 수익금 인 њ 비 value 값을 계산합니다. 옵션이 \ (\ Δ \ \ t \)의 시간 단계에서 \ (E [P] \)의 기대 가격을 갖는 것처럼, 현재 가격은 단순히 \ (e ^ E [P] \), 여기서 \ (r \)은 무위험 할인율입니다. 장래 옵션 가격의 기대 값은 잎에 가까운 노드를 조사하여 계산할 수 있습니다. 우리가 주가가 \ (S_i \)에 있다면, 가격 진화의 두 가지 가능성은 \ (uS_i \)와 \ (dS_i \)이며, 이들은 나무 아래로 더 멀리 있기 때문에, 우리는 이미 이 노드들. 따라서 하나의 시간 단계에서 옵션 가격의 기대 값은 \ (E [P] = pC_ \ text + (1-p) C_ \ text \)로 주어지며 \ (C_ \ text \) 및 \ (C_ \ text \)는 주가가 타임 스텝에서 위 또는 아래로 올라가는 것에 해당하는 노드의 옵션 가격이고 \ (p \)는 주가가 올라갈 확률입니다. 사용할 확률 \ (p \)을 선택함에있어서, \ (X \ sim \ text (n, p) \)는 변동성이있는 주식의 임의의 기하학적 브라운 운동을 \ \ (\ mu \). 분담률 \ (q \)로 배당을 허용하면이 확률은 \ (p = \ frac-d> \)가됩니다. 값 \ [e ^ + (1-p) C_ \ text \ right)], \ : \ \, p = \ frac - d> \]는 노드의 이항 값으로 알려져 있으며 나무의 아래쪽으로 아이들의 옵션 가격이 주어진다면 내부 노드의 이항 값. 잎의 가격을 계산하는 별도의 방법이 있으므로 나무의 노드의 이항 값을 계산할 수 있습니다.

이항 값이 옵션 가격이라고 말하는 것이 유혹을 불러 일으킬 지 모르지만, 그렇지 않을 수도 있습니다. 미국식 옵션 (이 게시물의 시작 부분에 설명 된 유형)에서 모든 노드는 옵션을 행사할 수있는 옵션을 가지므로 옵션 가격은 이항 값의 최대 값이며 그 시점에서 옵션을 행사하여 얻는 이익입니다. 시각. 이윤은 나뭇잎에 대한 계산과 정확히 같은 방식으로 평가할 수 있습니다. 통화 및 풋 옵션에 대한 두 가지 경우가 있습니다. 그러나 초기 운동이 옵션이 아닌 유럽식 옵션이 존재하므로 이항 값은 옵션 가격입니다. 비슷하게 버뮤다 스타일 옵션도 있습니다. 초기 운동은 일부 노드에서만 옵션이며, 이 노드에서만 잠재 수익의 최대 값과 이항 값을 선택합니다. 이는 2 항 옵션 가격 결정 모델의 유연성을 보여주고 별도의 이항 옵션 가격 모델 알고리즘에 대한 설명을 마칩니다. 이 알고리즘은 아직 정확한 Python 구현이 제공되지 않습니다. 이 알고리즘은 정확하지만 동적 프로그래밍 기술을 통해 \ (O (2 ^ N) \) 시간 대신 \ (O (N ^ 2) \)에서 실행하기가 아주 쉽습니다.

이항 옵션 가격 모델 : Na'Їve Python 구현 (다운로드)

2013 년 5 월 9 일 목요일 - 경제학에 게시 됨.

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이항 모형 스톡 옵션.

이항 모델은 옵션 가격 모델입니다. 옵션 가격 결정 모델은 수식과 다양한 변수를 사용하여 주식과 같은 상품의 잠재적 미래 가격을 예측합니다. 이 모델을 통해 브로커는 예상 가격과 관련하여 실제 가격을 모니터링하고 이에 따라 예측을 수정할 수 있습니다. 모든 옵션 가격 결정 모델과 마찬가지로 이항 모델은 장점과 단점을 제공합니다. 디지털 시대에는 옵션 가격 결정 모델 계산을 수행하는 컴퓨터 프로그램이 존재합니다.

이항 모델.

1979 년에 개발 된 이항 모형은 "나무"또는 "격자"로 알려진 미래의 잠재적 옵션 가격 구조를 제공합니다. 이 모델을 사용하여 중개인은 여러 상황에 대한 잠재적 인 미래 주가를 계산합니다. 예를 들어, 주식이 한 달 동안 12 %의 가치 하락을 보일 때와 같은 가치가 10 % 상승 할 가능성이 있다면, 2 항 모델 트리의 하나의 "지점"은 주식의 가치를 보여줍니다 10 % 증가하고 또 다른 "branch"는 12 % 감소했습니다. 브로커가 잠재적 미래 가격을 계속 계상함에 따라이 지점들 각각은 자체 지점을 창출합니다. 근본적으로, 옵션 가격 결정의 2 항 모델은 잠재적 인 미래 가격의 광범위한 네트워크를 제공하여 최상의 시나리오와 최악의 시나리오는 물론 중간 영역을 제시합니다.

이항 모델의 장점.

이항 모형은 미국과 유럽의 스톡 옵션의 가격 책정을 허용하며, 이는 옵션 가격 책정의 다른 방법에 비해 중요한 이점입니다. 미국 주식은 유럽 주식과 다른 모델을 따르고 브로커에게 옵션을 매매하는 다른 팔레트를 제공합니다. 이러한 차이점으로 인해 많은 가격 책정 방법이 두 가지 유형의 옵션으로 정확하게 작동하지 못합니다. 이항 모델은 그렇지 않습니다. 2 항 모형은 또한 지불 된 배당금에 기초한 옵션 가치의 조정을 수용합니다.

이항 모델의 단점.

이항 옵션 가격 결정 모델의 주요 단점은 복잡성에 있습니다. 장기간에 걸쳐 잠재적 옵션 가격을 계산할 때 막대한 계산 및 변수가 필요합니다. 단일 스톡 옵션에 대해 정확한 2 항 모델 트리를 작성하면 막대한 시간이 소비됩니다. 투자 소프트웨어 제조업체 인 Hoadley Trading and Investment Tools에 따르면 이항 모델을 기반으로 한 컴퓨터 프로그램은 프로세스의 복잡성으로 인해 같은 기간 동안 다른 가격 모델을 기반으로 한 프로그램보다 훨씬 적은 계산을 제공합니다.

이항 모형 스톡 옵션.

이항 모형 스톡 옵션은 중개인이 이항 모형을 사용하여 잠재적 미래 가격을 계산하는 옵션을 구성합니다. 이것은 기본적으로 모든 주식 옵션이 2 항 모형 스톡 옵션으로 자격이 있음을 의미합니다. 그러나 "이항 모형"은 옵션에 고유 한 것이 아니라 브로커, 회계사 또는 기타 투자자 또는 분석가가 외부에서 스톡 옵션에 적용한 라벨입니다. 예를 들어, 이항 모델을 사용하여 Microsoft 주식 옵션의 가치를 계산할 경우이 옵션에 대한 변경 사항은 없습니다. "이항 스톡 옵션"이라는 레이블은 회사가 옵션을 제공하는 것이 아니라 개인 투자자 및 중개인의 분석 관행에서 나옵니다.

기타 옵션 가격 모델.

Black-Scholes 모델은 주식 가격, 파업 가격, 변동성, 만기까지의 기간 및 단기 이자율과 같은 변수를 사용하여 미래의 옵션 가격을 예측합니다. 이 모델은 복잡한 수학을 포함하지만 이항 모델을 통해 생성 된 트리가 아니라 각 옵션에 대해 하나의 가격 만 계산합니다. 이 때문에, 특히 컴퓨터 프로그램에 의해 수행 될 때 매우 빨리 증명됩니다. 그러나이 모델은 미국 옵션 가격을 계산할 수 없습니다. 다른 방법으로는 Roll, Geske 및 Whaley 분석 솔루션, 미국 통화에 대한 Black의 근사법, Barone-Adesi 및 Whaley 2 차 근사법 및 델타, 감마, 세타 및 ρ라는 "그리스어"방법이 있습니다.

참조.

"이해 옵션"; Robert W. Kolb; 1995 "금융 시장의 경제 및 수학 개론"; Jaksa Cvitanic et al; 2004 Hoadley 무역 및 투자 도구 : 옵션 가격 결정 모델 "금융 시장 경제"; 브라이언 케텔; 2002 "상품 및 금융 파생 상품"; S. Kevin; 2010.

저자에 관하여.

Will Gish는 2005 년 순회와 글쓰기에 빠졌습니다. 그의 작업은 다양한 웹 사이트에서 볼 수 있습니다. 그는 & # 34; College Gentleman & # 34;의 주요 엔터테인먼트 작가입니다. 잡지 및 기타 다양한 음악 및 영화 웹 사이트에 컨텐츠를 제공합니다. 기쉬 (Gish)는 애 머스트 (Amherst)의 매사추세츠 대학교 (University of Massachusetts)에서 예술사 학사 학위를 취득했습니다.

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